當一場遊戲的狀態數量超過宇宙中原子的總數時，我們該如何計算獲勝的概率？當解析數學變得難以處理時，我們便轉向電腦的實驗室。 模擬：透過實驗來經驗性地確定概率的方法稱為模擬，它在理論概率與現實應用之間架起了一座橋樑。
實驗的架構
每一個模擬的核心在於重現隨機過程。我們不求解封閉形式的方程式，而是通過反覆試驗來模擬系統的行為。為了將這些物理結果轉換為數學數據，我們使用 指示變數。
為了量化結果，我們定義能捕捉事件成功或失敗的隨機變數。例如，在骰子遊戲中：
$$X = \begin{cases} 1 & \text{若骰子點數和為6} \\ 0 & \text{否則} \end{cases}$$
對於更複雜的遊戲（如撲克牌遊戲），我們將 $X_i$ 定義為第 $i$ 次試驗的結果：
$$X_i = \begin{cases} 1 & \text{若第 } i \text{ 局遊戲獲勝} \\ 0 & \text{否則} \end{cases}$$
關鍵在於，期望值 $E[X_i] = P\{\text{在撲克牌遊戲中獲勝}\}$。
理論上的收斂
為什麼這方法有效？模擬的有效性建立在 大數定律（強大數律）之上。我們將估計器定義為樣本平均值：
$$\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n} = \frac{\text{獲勝遊戲次數}}{\text{總遊戲次數}}$$
這是一個無偏估計器。根據大數定律，我們知道 $\sum_{i=1}^n \frac{X_i}{n}$ 會以機率 1 收斂至 $P\{\text{在撲克牌遊戲中獲勝}\}$，當 $n \to \infty$。
範例：撲克牌悖論
想像一下，計算一場複雜撲克牌遊戲的精確獲勝機率。由於牌組狀態數量龐大，解析組合學幾乎無法實現。相反地，我們編寫程式讓電腦以固定策略進行 $n = 1,000,000$ 局遊戲。透過追蹤每一局的 $X_i$，最終的獲勝比例提供了一個高精度的獲勝機率估計，這是傳統計數方法無法達成的。